طريقة فورييه النمطية للتصميم العكسي لثنائيات الإضاءة متناهية الصغر المعززة بالأسطح الفوقية

1. المقدمة

ثنائيات الإضاءة متناهية الصغر (µLEDs) هي مكونات حاسمة للشاشات من الجيل التالي، خاصة في تطبيقات الواقع المعزز (AR) حيث تكون السطوع العالي وكفاءة الطاقة أمران بالغا الأهمية. المقياس الرئيسي للأداء هو كفاءة استخراج الضوء (LEE). تواجه طرق التصميم التقليدية تعقيدًا حسابيًا في نمذجة مصادر الضوء غير المتماسكة مكانيًا المتأصلة في ثنائيات µLED (مثل الانبعاث التلقائي)، مما يجعل تقنيات التحسين المتقدمة مثل التصميم العكسي غير قابلة للحساب عمليًا. يقدم هذا العمل إطار محاكاة يعتمد على طريقة فورييه النمطية (FMM) يتجاوز هذا الحاجز، مما يتيح التصميم العكسي الفعال والدقيق لثنائيات µLED المعززة بالأسطح الفوقية.

2. المنهجية

جوهر هذا العمل هو طريقة فورييه النمطية المعدلة والموسعة.

3. التنفيذ التقني وأداة FMMAX

تم تنفيذ الطريقة في أداة تسمى FMMAX. الميزة الرئيسية للتصميم العكسي هي إعادة الاستخدام الحسابي: خطوات التحليل الذاتي المكلفة المطلوبة لبناء مصفوفة النظام لكل طبقة تحتاج فقط إلى إعادة حسابها عندما يتغير ملف تعريف تلك الطبقة. أثناء عملية التحسين، حيث قد تظل العديد من الطبقات ثابتة بين التكرارات، يوفر هذا توفيرًا حسابيًا هائلاً.

4. النتائج والأداء

5. التحليل والتعليقات الخبيرة

6. التفاصيل التقنية والصياغة الرياضية

تحل طريقة فورييه النمطية معادلات ماكسويل في طبقة ذات سماحية دورية $\epsilon(x,y)$. يتم توسيع المجالات الكهربائية والمغناطيسية في متسلسلة فورييه:

$$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ $$ \mathbf{H}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ حيث $\mathbf{G}$ هي متجهات الشبكة العكسية، $\mathbf{k}_{\parallel}$ هو متجه الموجة في المستوى، و $\mathbf{r}_{\parallel} = (x,y)$. يؤدي التعويض في معادلات ماكسويل إلى نظام من المعادلات التفاضلية العادية في $z$ لمعاملات فورييه $\mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z)$ و $\mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z)$، والتي يمكن حلها عبر التحليل الذاتي. يتم حل التشتت عند الواجهات بين الطبقات باستخدام خوارزمية مصفوفة التشتت (S-matrix) للاستقرار العددي.

الامتداد الرئيسي للمصادر غير المتماسكة هو أن الطاقة الكلية المستخرجة $P_{\text{ext}}$ لتوزيع من ثنائيات القطب تُحسب عن طريق التكامل على منطقة بريلوين (BZ) والجمع على مواقع ثنائيات القطب $\mathbf{r}_0$ والاتجاهات $\hat{\mathbf{p}}$:

$$ P_{\text{ext}} \propto \sum_{\hat{\mathbf{p}}} \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k}_{\parallel} \sum_{\mathbf{r}_0} \left| \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{k}_{\parallel}, \hat{\mathbf{p}}, \mathbf{r}_0) \right|^2 $$ يقوم هذا التكامل بمتوسط التداخل المتماسك الذي قد ينشأ من افتراض مصدر دوري واحد، مما ينمذج الانبعاث غير المتماسك بشكل صحيح.

7. إطار التحليل: دراسة حالة مفاهيمية

السيناريو: تحسين ركيزة الياقوت ذات النمط النانوي (NPSS) لثنائي µLED أزرق لتعزيز كفاءة استخراج الضوء.

تطبيق الإطار:

1. المعاملية: تعريف النمط النانوي كشبكة حيود ثنائية الأبعاد بكسلية ذات فترة ثابتة. عمق النقش لكل بكسل هو متغير تصميم.
2. النموذج الأمامي: استخدام FMMAX لحساب كفاءة استخراج الضوء للهيكل الحالي. تتعامل الأداة بكفاءة مع المكدس متعدد الطبقات (المنطقة النشطة، p-GaN، NPSS، الهواء).
3. حساب التدرج: استخدام الطريقة المساعدة. تتيح صياغة FMM حسابًا فعالًا لتدرج كفاءة استخراج الضوء بالنسبة لجميع متغيرات عمق النقش في وقت واحد — وهنا تكمن أهمية السرعة.
4. حلقة التحسين: استخدام خوارزمية قائمة على التدرج (مثل L-BFGS) لتحديث أعماق النقش لتعظيم كفاءة استخراج الضوء. يتم تخزين التحليلات الذاتية للطبقات غير المعدلة (مثل المنطقة النشطة الموحدة) مؤقتًا وإعادة استخدامها.
5. التحقق: سيتم تصنيع النمط غير المنتظم النهائي الذي اكتشفته الخوارزمية وقياسه، مما يظهر كفاءة استخراج ضوء فائقة مقارنة بشبكات الحيود الدورية القياسية.

8. التطبيقات المستقبلية والاتجاهات

• تحسين الفيزياء المتعددة: توسيع نطاق التصميم العكسي ليشمل التحسين المشترك لكفاءة استخراج الضوء مع الخصائص الكهربائية (انتشار التيار، إدارة الحرارة) وكفاءة تحويل اللون لثنائيات µLED كاملة الألوان.
• ما وراء الشاشات: تطبيق نفس النمذجة السريعة للمصادر غير المتماسكة على التصميم العكسي للإضاءة الصلبة عالية الكفاءة (مصابيح LED)، ومصادر الفوتون الواحد للتكنولوجيات الكمومية، وكواشف الضوء المعززة.
• دمج الخوارزميات: دمج FMMAX مع أطر تحسين أكثر تقدمًا، مثل تلك التي تتعامل مع أهداف متعددة أو قيود قابلية التصنيع (الحد الأدنى لحجم الميزة، زوايا النقش).
• اكتشاف المواد: استخدام الإطار في نظام "حلقة مغلقة" مع تجارب عالية الإنتاجية لتصميم الهياكل ليس فقط، بل ولاقتراح تركيبات مادية جديدة واعدة للطبقات النشطة أو الأسطح الفوقية.
• نماذج بديلة للشبكات العصبية: تتيح سرعة FMMAX إنشاء مجموعات بيانات ضخمة لتدريب الشبكات العصبية كنماذج بديلة فائقة السرعة، مما يتيح استكشاف التصميم التفاعلي في الوقت الفعلي.

9. المراجع

1. Z. Liu et al., "Micro-LEDs for Augmented Reality Displays," Nature Photonics, vol. 15, pp. 1–12, 2021.
2. J. A. Fan et al., "Inverse Design of Photonic Structures," Nature Photonics, vol. 11, no. 9, pp. 543–554, 2017.
3. L. Su et al., "Inverse Design of Nanophotonic Structures Using Adjoint Methods," IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 26, no. 2, 2020.
4. M. G. Moharam and T. K. Gaylord, "Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffraction," J. Opt. Soc. Am., vol. 71, no. 7, pp. 811–818, 1981.
5. P. Lalanne and G. M. Morris, "Highly improved convergence of the coupled-wave method for TM polarization," J. Opt. Soc. Am. A, vol. 13, no. 4, pp. 779–784, 1996.
6. J. Zhu et al., "Unpaired Image-to-Image Translation using Cycle-Consistent Adversarial Networks," Proc. IEEE ICCV, 2017. (مرجع خارجي للمقارنة الخوارزمية).
7. U.S. Department of Energy, "Solid-State Lighting R&D Plan," 2022. (مرجع خارجي لأهمية الصناعة).
8. L. Li, "Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures," J. Opt. Soc. Am. A, vol. 13, no. 9, pp. 1870–1876, 1996. (مرجع لتحديات التقارب).
9. M. F. S. Schubert and A. M. Hammond, "FMMAX: Fourier Modal Method for Stratified Media," GitHub Repository, 2023. (مرجع للتنفيذ).