روش مدال فوریه برای طراحی معکوس میکروالایدی‌های تقویت‌شده با فراسطح

1. مقدمه

دیودهای نوری میکرومقیاس (µLEDs) با ابعاد نزدیک به ۱ میکرومتر برای کاربردهای نسل بعدی مانند نمایشگرهای واقعیت افزوده (AR) حیاتی هستند، جایی که روشنایی بالا و بازده انرژی از اهمیت بالایی برخوردار است. یک چالش کلیدی دستیابی به بازده استخراج نور (LEE) بالا است، زیرا بخش عمده‌ای از نور تولید شده به دلیل بازتاب داخلی کلی درون دستگاه محبوس می‌شود. در حالی که طراحی معکوس — یک تکنیک محاسباتی که هندسه دستگاه را به طور خودکار بهینه می‌کند — نویدبخش است، به دلیل نیاز به مدل‌سازی هزاران منبع ناسازگار فضایی (مانند گسیل خودبه‌خودی) برای µLEDها از نظر محاسباتی غیرممکن بوده است. روش‌های استانداردی مانند حوزه زمانی تفاضل محدود (FDTD) برای این کار به شدت کند هستند. این پژوهش یک قابلیت شبیه‌سازی مبتنی بر روش مدال فوریه (FMM) را معرفی می‌کند که بر این مانع غلبه کرده و طراحی معکوس کارآمد µLEDهای تقویت‌شده با فراسطح را ممکن می‌سازد.

2. روش‌شناسی

2.1 مبانی روش مدال فوریه (FMM)

روش FMM که با نام تحلیل موج جفت‌شده دقیق (RCWA) نیز شناخته می‌شود، میدان‌های الکترومغناطیسی در محیط‌های لایه‌ای و تناوبی را با بسط آن‌ها در یک پایه فوریه قطع‌شده مدل می‌کند. معادلات ماکسول در حوزه فرکانس حل می‌شوند. مزیت اصلی این است که مسئله سه‌بعدی تقلیل می‌یابد: ابعاد درون صفحه (x,y) از طریق بسط فوریه مدیریت می‌شوند، در حالی که بعد z (لایه‌بندی) به صورت تحلیلی برخورد می‌شود. این منجر به یک سیستم خطی می‌شود که اندازه آن تنها به هارمونیک‌های فوریه درون صفحه بستگی دارد، نه به مش‌بندی حجمی، که نتیجه آن یک سیستم نسبتاً فشرده قابل حل با روش‌های مستقیم است.

2.2 توسعه‌ها برای مدل‌سازی منابع ناسازگار

FMM استاندارد منابع تناوبی را فرض می‌کند، که برای یک µLED منفرد در یک آرایه، تداخل غیرفیزیکی ایجاد می‌کند. برای مدل‌سازی یک منبع موضعی و ناسازگار (مانند یک دوقطبی در یک µLED منفرد)، نویسندگان از یک فرمول‌بندی برداری از FMM استفاده می‌کنند. این شامل نمایش منبع به عنوان یک برهم‌نهی از مد‌های بلاخ است. پاسخ کل سپس با جمع‌زدن مشارکت‌های تمام بردارهای بلاخ مرتبط محاسبه می‌شود، که به طور مؤثری یک گسیلنده منفرد را در یک محیط تناوبی بدون اتصال مصنوعی به تصاویر تناوبی آن شبیه‌سازی می‌کند.

2.3 انتگرال‌گیری ناحیه بریلوئن

برای محاسبه دقیق پاسخ یک منبع موضعی، انتگرال‌گیری بر روی ناحیه بریلوئن (BZ) شبکه وارون انجام می‌شود. این تکنیک، که از کارهای مرتبط [۱۹–۱۷] ارجاع داده شده است، بردارهای موج بلاخ مختلف ($\mathbf{k}$) را نمونه‌برداری می‌کند تا پاسخ کامل منبع منفرد را بسازد و نتایج فیزیکی برای پیکربندی آرایه µLED را تضمین می‌کند.

3. پیاده‌سازی فنی و FMMAX

این روش در ابزاری به نام FMMAX پیاده‌سازی شده است. نوآوری‌های کلیدی شامل یک الگوریتم بهبودیافته برای محاسبه خودکار میدان‌های برداری درون لایه‌ها و مدیریت ساختارهای حاوی فلزات است، که به طور سنتی از همگرایی ضعیف در FMM رنج می‌برند [۱۶]. این پیاده‌سازی امکان استفاده مجدد کارآمد از تجزیه مقادیر ویژه پرهزینه از نظر محاسباتی هنگام بهینه‌سازی پارامترها را فراهم می‌کند، که ویژگی کلیدی برای حلقه‌های طراحی معکوس است.

4. نتایج و عملکرد

4.1 مقایسه سرعت با FDTD

شبیه‌سازی مبتنی بر FMM به نتایجی دست می‌یابد که با شبیه‌سازی‌های مرجع FDTD توافق عالی دارند. نتیجه حیاتی سرعت محاسباتی است: گزارش شده که این روش برای کار شبیه‌سازی µLED بیش از ۱۰^۷ برابر سریع‌تر از FDTD مبتنی بر CPU است. این افزایش سرعت عظیم، طراحی معکوس را از غیرممکن به عملی‌ترین حالت تبدیل می‌کند.

4.2 بهبود بازده استخراج نور

با استفاده از چارچوب طراحی معکوس خود، نویسندگان یک فراسطح یکپارچه شده در بالای یک µLED را بهینه کردند. طراحی بهینه‌شده در مقایسه با یک دستگاه پایه بهینه‌نشده، بازده استخراج نور (LEE) را دو برابر کرد. این قدرت روش را برای کشف ساختارهای نانویی غیربدیهی و با عملکرد بالا نشان می‌دهد.

5. تحلیل همگرایی

مقاله به چالش‌های تاریخی FMM، مانند همگرایی کند در ساختارهای فلزی و برای منابع موضعی، می‌پردازد. نشان داده شده که فرمول‌بندی برداری و تکنیک‌های انتگرال‌گیری BZ آن‌ها به طور چشمگیری نرخ همگرایی را بهبود می‌بخشند و FMM را برای هندسه µLED، که شامل لایه‌های نیمه‌هادی و به طور بالقوه اتصالات یا آینه‌های فلزی است، قوی و دقیق می‌سازند.

6. نمایش طراحی معکوس

کاربرد اصلی نشان داده شده است: طراحی معکوس خودکار یک فراسطح برای افزایش LEE. فضای طراحی احتمالاً شامل پارامترهایی مانند شکل، اندازه و آرایش فراذره بوده است. حلقه بهینه‌سازی، که اکنون به دلیل شبیه‌سازی سریع امکان‌پذیر است، با موفقیت این فضای چندبعدی بالا را پیموده تا ساختاری را بیابد که کسر نور خارج شده از دستگاه را بیشینه می‌کند.

7. بینش کلیدی و دیدگاه تحلیلی

8. جزئیات فنی و فرمول‌بندی ریاضی

هسته FMM شامل بسط گذردهی تناوبی $\epsilon(x,y)$ و میدان‌های الکترومغناطیسی در سری فوریه است:

$$ \epsilon(x,y) = \sum_{m,n} \tilde{\epsilon}_{mn} e^{j(mG_x x + nG_y y)} $$ $$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{m,n} \tilde{\mathbf{E}}_{mn}(z) e^{j[(k_x+mG_x)x + (k_y+nG_y)y]} $$ که در آن $G_x, G_y$ بردارهای شبکه وارون و $\mathbf{k}=(k_x, k_y)$ بردار موج بلاخ است. جایگزینی در معادلات ماکسول منجر به یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی جفت‌شده در $z$ برای دامنه‌های فوریه $\tilde{\mathbf{E}}_{mn}(z)$ می‌شود، که با یافتن مد‌های ویژه در هر لایه و تطبیق شرایط مرزی حل می‌شود.

توان برای یک منبع ناسازگار با انتگرال‌گیری بر روی موقعیت‌های منبع و بردارهای بلاخ محاسبه می‌شود: $$ P_{\text{ext}} \propto \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k} \sum_{\text{sources}} |\mathbf{E}_{\text{far}}(\mathbf{k}, \mathbf{r}_s)|^2 $$ که در آن ناسازگاری با جمع شدت‌ها (نه میدان‌ها) ثبت می‌شود.

9. نتایج آزمایشی و توصیف نمودار

شکل (توصیف مفهومی): مقاله احتمالاً شامل یک شکل کلیدی است که LEE µLED پایه را در مقابل µLED طراحی‌شده معکوس مقایسه می‌کند. محور x ممکن است طول موج (مثلاً ۶۵۰–۴۵۰ نانومتر برای یک LED آبی/سبز/قرمز) را نشان دهد و محور y بازده LEE (۱۰۰–۰ درصد) را نشان می‌دهد. انتظار می‌رود دو منحنی را ببینیم: ۱) یک منحنی پایین‌تر و مسطح‌تر برای µLED بهینه‌نشده مسطح یا با ساختار ساده، و ۲) یک منحنی به طور قابل توجهی بالاتر برای دستگاه تقویت‌شده با فراسطح، احتمالاً با قله‌های تشدید جایی که فراسطح به طور خاص در بیرون کشیدن نور مؤثر است. یک نمودار دوم ممکن است همگرایی روش FMM در مقابل تعداد هارمونیک‌های فوریه را نشان دهد، که همگرایی سریع به یک مقدار LEE پایدار با فرمول‌بندی بهبودیافته آن‌ها را نشان می‌دهد، برخلاف همگرایی کندتر یا ناپایدار برای یک رویکرد FMM کلاسیک.

10. چارچوب تحلیل: گردش کار طراحی معکوس

مثال موردی: طراحی یک فراسطح برای یک µLED آبی

1. تعریف مسئله: هدف: بیشینه کردن LEE در ۴۵۰ نانومتر برای یک µLED با ساختار لایه‌ای اپیتاکسیال داده شده (مثلاً مبتنی بر GaN). محدودیت‌ها: دوره فراسطح ثابت شده توسط گام پیکسل (مثلاً ۱ میکرومتر)، ارتفاع فراذره محدود شده توسط ساخت.
2. پارامترسازی: سلول واحد فراسطح را تعریف کنید. یک پارامترسازی ساده می‌تواند یک نانومیله مستطیلی با متغیرها باشد: عرض $w_x$، عرض $w_y$، زاویه چرخش $\theta$ و ماده (مثلاً TiO$_2$).
3. شبیه‌سازی: برای یک مجموعه داده شده از پارامترها $(w_x, w_y, \theta)$، از FMMAX برای محاسبه LEE استفاده کنید. این شامل حل میدان‌ها از مجموعه‌ای از دوقطبی‌های ناسازگار قرارگرفته در ناحیه چاه کوانتومی فعال و انتگرال‌گیری بردار پوینتینگ رو به بالا است.
4. حلقه بهینه‌سازی: از یک بهینه‌ساز مبتنی بر گرادیان (مثلاً روش الحاقی) یا یک الگوریتم جستجوی سراسری (مثلاً بهینه‌سازی بیزی) برای تغییر $(w_x, w_y, \theta)$ و بیشینه کردن LEE استفاده کنید. افزایش سرعت ۱۰^۷ برابر FMMAX به این حلقه اجازه می‌دهد به جای سال‌ها در چند ساعت اجرا شود.
5. اعتبارسنجی و خروجی: بهینه‌ساز به یک شکل میله بهینه همگرا می‌شود. مرحله نهایی یک شبیه‌سازی تأیید کامل و تولید فایل‌های ساخت (GDSII) است.

11. کاربردهای آینده و جهت‌گیری‌ها

• نمایشگرهای µLED تمام‌رنگ: طراحی معکوس همزمان فراسطح‌ها برای زیرپیکسل‌های قرمز، سبز و آبی برای متعادل کردن بازده و خلوص رنگ.
• شکل‌دهی پرتو: گسترش تابع هدف فراتر از LEE کل برای شامل کردن کنترل پروفایل پرتو میدان دور (مثلاً موازی‌سازی برای کاربردهای پروژکتور)، مشابه اهداف در طراحی LED ماکروسکوپی.
• یکپارچه‌سازی با تنظیم فعال: طراحی فراسطح‌های سازگار با کریستال‌های مایع یا مواد تغییر فاز برای µLEDهای قابل تنظیم پویا پس از ساخت.
• هم‌طراحی مدیریت حرارتی: طراحی معکوسی که هم عملکرد فوتونیک و هم اتلاف حرارتی را در نظر می‌گیرد، زیرا افت بازده در جریان‌های بالا یک چالش عمده برای µLEDها است.
• هم‌طراحی الگوریتم-سخت‌افزار: پیاده‌سازی حل‌کننده هسته FMMAX بر روی GPUها یا شتاب‌دهنده‌های هوش مصنوعی تخصصی برای دستیابی به افزایش سرعت بیشتر، حرکت به سمت اکتشاف طراحی در زمان واقعی.
• فوتونیک گسترده‌تر: اعمال چارچوب FMM بهبودیافته به مسائل دیگر با منابع ناسازگار، مانند بهینه‌سازی سلول‌های الکتروشیمیایی نورافشان (LECs)، به دام انداختن نور سلول خورشیدی، یا گسیلنده‌های مادون قرمز برای حسگری.

12. مراجع

1. Z. Zhou et al., "Augmented reality and virtual reality displays: emerging technologies and future perspectives," Light: Science & Applications, 2021.
2. H. S. Chen et al., "Micro-LED technology for next-generation displays," Journal of the Society for Information Display, 2020.
3. J. A. Fan et al., "Inverse design of nanophotonic structures," Nature Photonics, 2010.
4. S. Molesky et al., "Inverse design in nanophotonics," Nature Photonics, 2018.
5. J. Jiang and J. A. Fan, "Global optimization of dielectric metasurfaces using a physics-driven neural network," Nano Letters, 2019.
6. K. J. Vahala, "Optical microcavities," Nature, 2003.
7. M. L. Brongersma et al., "Plasmonics for improved photovoltaic devices," Nature Materials, 2010.
8. P. Bermel et al., "Design and global optimization of high-efficiency thermophotovoltaic systems," Optics Express, 2010.
9. J. D. Joannopoulos et al., "Photonic Crystals: Molding the Flow of Light," Princeton University Press, 2008.
10. L. Li, "New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings," Journal of the Optical Society of America A, 1997.
11. A. David et al., "Simulation of light extraction from light-emitting diodes with patterned surfaces by the finite-difference time-domain method," IEEE Transactions on Electron Devices, 2010.
12. T.-Y. Huang et al., "Design and simulation of GaN-based micro-LEDs with vertical sidewalls," IEEE Photonics Technology Letters, 2016.
13. R. Pestourie et al., "A computational framework for infinite-dimensional inverse design using factorization," arXiv preprint, 2022.
14. O. D. Miller et al., "Photonic design: From fundamental solar cell physics to computational inverse design," IEEE Journal of Photovoltaics, 2012.
15. H. Chung and O. D. Miller, "Tunable metasurfaces via subwavelength phase shifters with uniform amplitude," Scientific Reports, 2020.
16. G. Granet and B. Guizal, "Efficient implementation of the coupled-wave method for metallic lamellar gratings in TM polarization," Journal of the Optical Society of America A, 1996.
17. P. Lalanne and G. M. Morris, "Highly improved convergence of the coupled-wave method for TM polarization," Journal of the Optical Society of America A, 1996.
18. E. Silberstein et al., "Use of grating theories in integrated optics," Journal of the Optical Society of America A, 2001.
19. M. G. Moharam et al., "Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach," Journal of the Optical Society of America A, 1995.