روش مدال فوریه برای طراحی معکوس میکروالایدی‌های تقویت‌شده با فراسطح

1. مقدمه

دیودهای نوری در مقیاس میکرو (µLEDs) اجزای حیاتی برای نمایشگرهای نسل آینده هستند، به ویژه در کاربردهای واقعیت افزوده (AR) که درخشندگی بالا و بازده انرژی در آن‌ها از اهمیت بالایی برخوردار است. یک معیار کلیدی عملکرد، بازده استخراج نور (LEE) است. روش‌های طراحی سنتی با پیچیدگی محاسباتی مدل‌سازی منابع نور ناهماهنگ فضایی ذاتی در µLEDها (مانند گسیل خودبه‌خودی) دست و پنجه نرم می‌کنند و تکنیک‌های بهینه‌سازی پیشرفته‌ای مانند طراحی معکوس را از نظر محاسباتی غیرممکن می‌سازند. این کار یک چارچوب شبیه‌سازی مبتنی بر روش مدال فوریه (FMM) را معرفی می‌کند که بر این مانع غلبه کرده و امکان طراحی معکوس کارآمد و دقیق µLEDهای تقویت‌شده با فراسطح را فراهم می‌کند.

2. روش‌شناسی

هسته این کار، یک روش مدال فوریه تطبیق‌یافته و توسعه‌یافته است.

3. پیاده‌سازی فنی و FMMAX

این روش در ابزاری به نام FMMAX پیاده‌سازی شده است. یک مزیت کلیدی برای طراحی معکوس، استفاده مجدد محاسباتی است: مراحل پرهزینه تجزیه ویژه مورد نیاز برای ساخت ماتریس سیستم برای هر لایه، تنها زمانی نیاز به محاسبه مجدد دارد که پروفیل آن لایه تغییر کند. در طول فرآیند بهینه‌سازی، که در آن بسیاری از لایه‌ها ممکن است بین تکرارها ثابت بمانند، این امر صرفه‌جویی محاسباتی عظیمی فراهم می‌کند.

4. نتایج و عملکرد

5. تحلیل و تفسیر کارشناسی

6. جزئیات فنی و فرمول‌بندی ریاضی

روش مدال فوریه معادلات ماکسول را در یک لایه با گذردهی تناوبی $\epsilon(x,y)$ حل می‌کند. میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی در سری فوریه بسط داده می‌شوند:

$$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ $$ \mathbf{H}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ که در آن $\mathbf{G}$ بردارهای شبکه معکوس هستند، $\mathbf{k}_{\parallel}$ بردار موج درون‌صفحه است و $\mathbf{r}_{\parallel} = (x,y)$. جایگزینی در معادلات ماکسول منجر به یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی در $z$ برای ضرایب فوریه $\mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z)$ و $\mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z)$ می‌شود که می‌تواند از طریق تجزیه ویژه حل شود. پراکندگی در رابط‌های بین لایه‌ها با استفاده از یک الگوریتم ماتریس پراکندگی (S-matrix) برای پایداری عددی حل می‌شود.

توسعه کلیدی برای منابع ناهماهنگ این است که توان کل استخراج‌شده $P_{\text{ext}}$ برای یک توزیع از دوقطبی‌ها با انتگرال‌گیری روی ناحیه بریلوئن (BZ) و جمع‌بندی روی موقعیت‌های دوقطبی $\mathbf{r}_0$ و جهت‌گیری‌های $\hat{\mathbf{p}}$ محاسبه می‌شود:

$$ P_{\text{ext}} \propto \sum_{\hat{\mathbf{p}}} \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k}_{\parallel} \sum_{\mathbf{r}_0} \left| \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{k}_{\parallel}, \hat{\mathbf{p}}, \mathbf{r}_0) \right|^2 $$ این انتگرال‌گیری، تداخل هماهنگی را که از فرض یک منبع تناوبی منفرد ناشی می‌شد، حذف می‌کند و گسیل ناهماهنگ را به درستی مدل می‌کند.

7. چارچوب تحلیل: یک مطالعه موردی مفهومی

سناریو: بهینه‌سازی یک زیرلایه یاقوت کبود نانوساختار (NPSS) برای یک µLED آبی به منظور افزایش LEE.

کاربرد چارچوب:

1. پارامترسازی: تعریف نانوساختار به عنوان یک توری پیکسلی 2 بعدی با دوره تناوب ثابت. عمق حک هر پیکسل یک متغیر طراحی است.
2. مدل رو به جلو: استفاده از FMMAX برای محاسبه LEE برای ساختار فعلی. این ابزار به طور کارآمد پشته چندلایه (ناحیه فعال، p-GaN، NPSS، هوا) را مدیریت می‌کند.
3. محاسبه گرادیان: استفاده از روش الحاقی. فرمول‌بندی FMM امکان محاسبه کارآمد گرادیان LEE نسبت به تمام متغیرهای عمق حک را به طور همزمان فراهم می‌کند - اینجاست که سرعت حیاتی است.
4. حلقه بهینه‌سازی: استفاده از یک الگوریتم مبتنی بر گرادیان (مانند L-BFGS) برای به‌روزرسانی عمق حک به منظور بیشینه‌سازی LEE. تجزیه‌های ویژه برای لایه‌های تغییرنیافته (مانند ناحیه فعال یکنواخت) ذخیره و مجدداً استفاده می‌شوند.
5. اعتبارسنجی: الگوی نهایی و نامنظم کشف‌شده توسط الگوریتم، ساخته و اندازه‌گیری می‌شود و LEE برتر را در مقایسه با توری‌های تناوبی استاندارد نشان می‌دهد.

8. کاربردها و جهت‌های آینده

• بهینه‌سازی چندفیزیکی: گسترش طراحی معکوس برای هم‌بهینه‌سازی LEE با خواص الکتریکی (پخش جریان، مدیریت حرارتی) و بازده تبدیل رنگ برای µLEDهای تمام‌رنگ.
• فراتر از نمایشگرها: اعمال همان مدل‌سازی سریع منبع ناهماهنگ برای طراحی معکوس روشنایی حالت جامد بسیار کارآمد (لامپ‌های LED)، منابع تک‌فوتونی برای فناوری‌های کوانتومی و آشکارسازهای نوری تقویت‌شده.
• یکپارچه‌سازی الگوریتم: ادغام FMMAX با چارچوب‌های بهینه‌سازی پیشرفته‌تر، مانند آن‌هایی که اهداف چندگانه یا محدودیت‌های قابلیت ساخت (حداقل اندازه ویژگی، زوایای حک) را مدیریت می‌کنند.
• کشف مواد: استفاده از چارچوب در یک سیستم "حلقه بسته" با آزمایش‌های با توان عملیاتی بالا نه تنها برای طراحی ساختارها، بلکه برای پیشنهاد ترکیبات مواد جدید امیدوارکننده برای لایه‌های فعال یا فراسطح‌ها.
• مدل‌های جایگزین شبکه عصبی: سرعت FMMAX امکان تولید مجموعه داده‌های عظیم برای آموزش شبکه‌های عصبی به عنوان مدل‌های جایگزین فوق‌سریع را فراهم می‌کند و امکان اکتشاف طراحی تعاملی در زمان واقعی را فراهم می‌سازد.

9. مراجع

1. Z. Liu et al., "Micro-LEDs for Augmented Reality Displays," Nature Photonics, vol. 15, pp. 1–12, 2021.
2. J. A. Fan et al., "Inverse Design of Photonic Structures," Nature Photonics, vol. 11, no. 9, pp. 543–554, 2017.
3. L. Su et al., "Inverse Design of Nanophotonic Structures Using Adjoint Methods," IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 26, no. 2, 2020.
4. M. G. Moharam and T. K. Gaylord, "Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffraction," J. Opt. Soc. Am., vol. 71, no. 7, pp. 811–818, 1981.
5. P. Lalanne and G. M. Morris, "Highly improved convergence of the coupled-wave method for TM polarization," J. Opt. Soc. Am. A, vol. 13, no. 4, pp. 779–784, 1996.
6. J. Zhu et al., "Unpaired Image-to-Image Translation using Cycle-Consistent Adversarial Networks," Proc. IEEE ICCV, 2017. (مرجع خارجی برای مقایسه بینش الگوریتمی).
7. U.S. Department of Energy, "Solid-State Lighting R&D Plan," 2022. (مرجع خارجی برای اهمیت صنعتی).
8. L. Li, "Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures," J. Opt. Soc. Am. A, vol. 13, no. 9, pp. 1870–1876, 1996. (مرجع برای چالش‌های همگرایی).
9. M. F. S. Schubert and A. M. Hammond, "FMMAX: Fourier Modal Method for Stratified Media," GitHub Repository, 2023. (مرجع برای پیاده‌سازی).