1. 引言

尺寸接近 1 微米的微型发光二极管（µLED）对于增强现实（AR）显示等下一代应用至关重要，这些应用对高亮度和能效要求极高。一个关键挑战是实现高光提取效率（LEE），因为大部分产生的光由于全内反射而被困在器件内部。虽然逆向设计——一种自动优化器件几何形状的计算技术——前景广阔，但由于需要模拟数千个空间非相干光源（例如，来自自发辐射），对于 µLED 而言，其计算量一直难以处理。时域有限差分（FDTD）等标准方法对此任务而言速度过慢。本研究引入了一种基于傅里叶模态法（FMM）的仿真能力，克服了这一障碍，实现了超表面增强型 µLED 的高效逆向设计。

2. 方法论

2.1 傅里叶模态法（FMM）基础

FMM，也称为严格耦合波分析（RCWA），通过在截断的傅里叶基中展开电磁场，来模拟周期性分层介质中的电磁场。麦克斯韦方程组在频域中求解。其核心优势在于将三维问题简化：面内（x，y）维度通过傅里叶展开处理，而 z 维度（分层）则通过解析方法处理。这导致了一个线性系统，其大小仅取决于面内傅里叶谐波，而不取决于体积网格，从而产生一个相对紧凑、可通过直接方法求解的系统。

2.2 非相干光源建模的扩展

标准 FMM 假设光源是周期性的，这对于阵列中的孤立 µLED 会产生非物理的干涉。为了模拟局域化的非相干光源（如单个 µLED 中的偶极子），作者采用了 FMM 的矢量公式。这包括将光源表示为布洛赫模式的叠加。然后，通过累加所有相关布洛赫矢量的贡献来计算总响应，从而有效地模拟周期性环境中的单个发射器，而不会与其周期性镜像产生人为耦合。

2.3 布里渊区积分

为了准确计算局域化光源的响应，需要对倒易晶格的布里渊区（BZ）进行积分。该技术参考了相关工作 [17–19]，通过对不同布洛赫波矢（$\mathbf{k}$）进行采样，构建孤立光源的完整响应，确保 µLED 阵列配置的物理结果。

3. 技术实现与 FMMAX

该方法在一个名为 FMMAX 的工具中实现。关键创新包括改进的算法，用于自动计算层内的矢量场以及处理包含金属的结构，这些结构传统上在 FMM 中收敛性较差 [16]。该实现允许在优化参数时高效地重用计算成本高昂的特征分解，这是逆向设计循环的关键特性。

性能加速

> 107 倍

相比基于 CPU 的 FDTD

效率提升

~ 2 倍

设计器件中的 LEE 提升

4. 结果与性能

4.1 与 FDTD 的速度对比

基于 FMM 的仿真结果与参考 FDTD 仿真结果高度一致。关键结果是计算速度：据报道，对于 µLED 仿真任务，该方法比基于 CPU 的 FDTD 快 107 倍以上。这一巨大的加速将逆向设计从难以处理转变为高度实用。

4.2 光提取效率提升

作者利用其逆向设计框架，优化了集成在 µLED 顶部的超表面。与未优化的基准器件相比，优化设计将光提取效率（LEE）提升了一倍。这证明了该方法在发现非直观、高性能纳米结构方面的强大能力。

5. 收敛性分析

本文解决了 FMM 的历史性挑战，例如在金属结构和局域化光源中收敛缓慢的问题。他们的矢量公式和 BZ 积分技术被证明可以显著提高收敛速度，使得 FMM 对于包含半导体层以及可能的金属接触或反射镜的 µLED 几何结构而言，既稳健又准确。

6. 逆向设计演示

演示了核心应用：用于 LEE 增强的超表面自动化逆向设计。设计空间可能包括元原子形状、尺寸和排列等参数。由于仿真速度极快，优化循环变得可行，并成功在这个高维空间中导航，找到了能最大化光逃逸器件比例的结构。

7. 核心见解与分析视角

核心见解：

本文的突破本质上并非一种新算法，而是对现有算法（FMM）的战略性复兴和增强，以解决一个研究界在计算上遇到瓶颈的问题（非相干光源逆向设计）。当其他人探索新颖的因式分解 [13,14] 或迹公式 [15] 以降低成本时，这项工作证明，通过正确的数值调整——矢量场、BZ 积分——一种“标准”方法不仅可以胜任，而且效率惊人。这是工程智慧胜过纯粹追求理论新颖性的经典案例。

逻辑脉络：

论证过程极具说服力：1) µLED 需要逆向设计以提高效率，2) 非相干光源使其速度过慢，3) FMM 对于分层问题具有固有的速度优势，4) 但它在金属和局域化光源方面存在已知缺陷，5) 这是我们的解决方案，6) 现在它快了 10^7 倍并且有效，7) 看，我们设计出了更好的器件。从问题识别到技术解决方案再到具体成果的流程严密无懈。

优势与不足：

优势： 10^7 倍的加速是决定性优势。展示了一个真实、性能翻倍的器件，使其从理论走向实际应用。专注于解决 FMM 的历史弱点显示了深刻的技术理解。
不足与疑问： 本文对逆向设计算法本身的细节（例如，使用哪种伴随方法、优化器？）着墨不多。“与 FDTD 精度相当”的说法需要仔细审视——针对哪些指标？远场图案？近场强度？FMMAX 在极其复杂、非分层的三维几何结构上的性能尚未得到验证。与许多光子逆向设计工作一样，所设计超表面的可制造性和鲁棒性（例如，对制造误差的容忍度）未作讨论，这是该领域综述（如 Molesky 等人，Nature Photonics，2018）中指出的一个关键空白。

可操作的见解：

对于 AR/VR 公司：此工具可极大加速 µLED 显示的研发周期。投资或授权此类仿真技术是高杠杆举措。
对于研究人员：教训很明确——用现代视角和特定问题约束重新审视“已解决”的数值方法；巨大的收益可能就隐藏在显而易见之处。下一步是将此求解器与稳健的、考虑制造约束（如最小特征尺寸）的逆向设计框架集成，正如 Jiang 和 Fan 在“Inverse design in nanophotonics”（Nature Reviews Materials，2020）等工作中所探讨的那样。
对于工具开发者：FMMAX 代表了一个基准。挑战在于将其原理扩展到更广泛的器件类别，或许可以集成机器学习代理模型来处理最耗时的步骤，以进一步推动速度提升。

8. 技术细节与数学公式

FMM 的核心涉及将周期性介电常数 $\epsilon(x,y)$ 和电磁场展开为傅里叶级数：

$$ \epsilon(x,y) = \sum_{m,n} \tilde{\epsilon}_{mn} e^{j(mG_x x + nG_y y)} $$ $$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{m,n} \tilde{\mathbf{E}}_{mn}(z) e^{j[(k_x+mG_x)x + (k_y+nG_y)y]} $$ 其中 $G_x, G_y$ 是倒易晶格矢量，$\mathbf{k}=(k_x, k_y)$ 是布洛赫波矢。代入麦克斯韦方程组后，得到关于傅里叶振幅 $\tilde{\mathbf{E}}_{mn}(z)$ 的耦合常微分方程组，通过寻找每层的本征模并匹配边界条件来求解。

非相干光源的功率通过对光源位置和布洛赫矢量积分计算： $$ P_{\text{ext}} \propto \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k} \sum_{\text{sources}} |\mathbf{E}_{\text{far}}(\mathbf{k}, \mathbf{r}_s)|^2 $$ 其中非相干性通过强度（而非场）的求和来体现。

9. 实验结果与图表说明

图表（概念性描述）： 本文可能包含一个关键图表，对比基准 µLED 与逆向设计 µLED 的 LEE。横轴可能代表波长（例如，蓝/绿/红 LED 的 450-650 nm），纵轴显示 LEE（0-100%）。我们预期会看到两条曲线：1) 未优化的平面或简单结构 µLED 的较低、较平坦的曲线，以及 2) 超表面增强器件的显著更高的曲线，可能在超表面特别有效地耦合出光的共振峰处。第二个图表可能显示 FMM 方法的收敛性随傅里叶谐波数量的变化，证明其改进的公式能快速收敛到稳定的 LEE 值，而不同于经典 FMM 方法较慢或不稳定的收敛。

10. 分析框架：逆向设计工作流

案例示例：为蓝色 µLED 设计超表面

  1. 问题定义： 目标：在 450 nm 波长下，最大化具有给定外延层结构（例如，基于 GaN）的 µLED 的 LEE。约束：超表面周期由像素间距固定（例如，1 µm），元原子高度受制造工艺限制。
  2. 参数化： 定义超表面单元。一个简单的参数化可以是矩形纳米柱，变量包括：宽度 $w_x$、宽度 $w_y$、旋转角度 $\theta$ 和材料（例如，TiO$_2$）。
  3. 仿真： 对于给定的一组参数 $(w_x, w_y, \theta)$，使用 FMMAX 计算 LEE。这涉及求解放置在活性量子阱区域中的非相干偶极子集合产生的场，并对向上的坡印廷矢量进行积分。
  4. 优化循环： 使用基于梯度的优化器（例如，伴随方法）或全局搜索算法（例如，贝叶斯优化）来改变 $(w_x, w_y, \theta)$ 并最大化 LEE。FMMAX 的 10^7 倍加速使得此循环可以在数小时内完成，而非数年。
  5. 验证与输出： 优化器收敛到最优的柱状形状。最后一步是进行完整的验证仿真并生成制造文件（GDSII）。

11. 未来应用与方向

  • 全彩 µLED 显示： 同时为红、绿、蓝子像素进行超表面逆向设计，以平衡效率和色纯度。
  • 光束整形： 将目标函数从总 LEE 扩展到包括远场光束轮廓控制（例如，用于投影仪应用的准直），类似于宏观 LED 设计中的目标。
  • 与主动调谐集成： 设计与液晶或相变材料兼容的超表面，用于制造后可动态调谐的 µLED。
  • 热管理协同设计： 同时考虑光子性能和热耗散的逆向设计，因为高电流下的效率下降是 µLED 面临的主要挑战。
  • 算法-硬件协同设计： 在 GPU 或专用 AI 加速器上实现核心 FMMAX 求解器，以实现进一步的加速，朝着实时设计探索迈进。
  • 更广泛的光子学应用： 将增强的 FMM 框架应用于其他涉及非相干光源的问题，例如优化发光电化学电池（LEC）、太阳能电池的光捕获或用于传感的红外发射器。

12. 参考文献

  1. Z. Zhou 等人，“增强现实和虚拟现实显示：新兴技术与未来展望”，《光：科学与应用》，2021年。
  2. H. S. Chen 等人，“用于下一代显示的微米发光二极管技术”，《信息显示学会杂志》，2020年。
  3. J. A. Fan 等人，“纳米光子结构的逆向设计”，《自然·光子学》，2010年。
  4. S. Molesky 等人，“纳米光子学中的逆向设计”，《自然·光子学》，2018年。
  5. J. Jiang 和 J. A. Fan，“使用物理驱动神经网络对介电超表面进行全局优化”，《纳米快报》，2019年。
  6. K. J. Vahala，“光学微腔”，《自然》，2003年。
  7. M. L. Brongersma 等人，“用于改进光伏器件的等离子体激元学”，《自然·材料》，2010年。
  8. P. Bermel 等人，“高效率热光伏系统的设计与全局优化”，《光学快报》，2010年。
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  15. H. Chung 和 O. D. Miller，“通过具有均匀振幅的亚波长移相器实现可调谐超表面”，《科学报告》，2020年。
  16. G. Granet 和 B. Guizal，“TM 偏振下金属层状光栅耦合波方法的高效实现”，《美国光学学会杂志 A》，1996年。
  17. P. Lalanne 和 G. M. Morris，“TM 偏振下耦合波方法收敛性的显著改进”，《美国光学学会杂志 A》，1996年。
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