基于傅里叶模态方法的超表面增强型微米LED逆向设计

1. 引言

微米级发光二极管是下一代显示器的关键组件，尤其是在对高亮度和能效要求极高的增强现实应用中。光提取效率是其关键性能指标。传统设计方法在模拟µLED固有的空间非相干光源（例如自发辐射）时面临计算复杂度高的挑战，使得逆向设计等高级优化技术在计算上难以实现。本研究引入了一种基于傅里叶模态方法的仿真框架，克服了这一障碍，实现了超表面增强型µLED的高效、精确逆向设计。

2. 方法论

本工作的核心是经过改进和扩展的傅里叶模态方法。

2.1 傅里叶模态方法基础

FMM，也称为严格耦合波分析，通过在截断的傅里叶基中展开电磁场，来模拟周期性分层介质中的电磁场。分层方向（例如层状结构中的垂直方向）的场通过解析方法处理。这导致了一个线性系统，其规模仅取决于面内（二维）复杂度，从而允许使用直接方法求解相对较小的系统矩阵。

2.2 非相干光源建模扩展

标准FMM假设光源是周期性的。将单个局域非相干光源（如µLED中的偶极子）建模为周期性会引入非物理干涉。作者通过实现布里渊区积分 [17-19] 来解决这个问题。该技术涉及在布里渊区内对多个波矢进行采样并积分结果，从而有效地模拟周期性阵列内的局域光源，而不会产生人为的相干效应。

2.3 应对收敛性挑战

经典的FMM公式在包含金属或高折射率对比度材料的结构中收敛性较差（即“Li分解”问题 [16]）。本工作采用了FMM的矢量公式，并改进了计算矢量场的方法，从而显著提高了针对µLED中具有挑战性的材料堆栈的收敛速度。

3. 技术实现与FMMAX

该方法在一个名为FMMAX的工具中实现。对于逆向设计的一个关键优势是计算复用：为每层构建系统矩阵所需的昂贵特征分解步骤，仅在该层的轮廓发生变化时才需要重新计算。在优化过程中，许多层可能在迭代之间保持不变，这带来了巨大的计算节省。

4. 结果与性能

加速倍数

>10⁷x

相比基于CPU的FDTD

LEE提升

通过逆向设计的超表面

4.1 速度与精度基准测试

基于FMM的方法实现了与计算电磁学精度黄金标准——时域有限差分仿真相当的精度，同时速度快了一千万倍以上。这一性能飞跃使得逆向设计从不可行变为可行。

4.2 逆向设计案例研究

该方法的能力通过逆向设计一个集成在µLED顶部的超表面得到验证。与未优化的基准器件相比，优化后的超表面使光提取效率翻倍。此外，该方法的速度使得能够生成高分辨率的LEE空间分布图，为器件性能提供了新的物理见解。

图表描述（概念性）： 柱状图将显示“未优化µLED LEE”的归一化值为1.0，而“超表面增强型µLED（逆向设计）”的值为2.0。嵌入的折线图可以显示逆向设计优化的收敛过程，目标函数（例如1/LEE）在几百次迭代内迅速下降。

5. 分析与专家评论

核心见解：

本文的突破并非一个全新的算法本身，而是对现有算法（FMM）进行战略性复兴与增强，以解决一个被认为计算上不可行的问题（非相干光源逆向设计）。这是实用工程学的典范：识别出瓶颈在于仿真器而非优化器，并精准地修复它。这将µLED设计的范式从缓慢的、基于直觉的调整转变为快速的、算法化的探索。

逻辑流程与比较：

作者正确地指出，先前的工作要么简化了物理模型（使用稀疏偶极子），要么简化了几何结构（利用对称性），使得三维逆向设计问题悬而未决。他们的解决方案流程非常优雅：1) 选择FMM，因其对分层结构具有固有的高效性。2) 用现代公式修复其已知缺陷（收敛性、周期性）。3) 利用由此产生的速度进行逆向设计。>10⁷x的加速声称令人震惊。为了理解其意义，这相当于将需要一年的仿真时间缩短到不到3秒。虽然FDTD以计算量大而闻名，但这种差距凸显了算法选择对计算规模的主导作用。这与其他领域的经验相呼应；例如，CycleGAN [Zhu et al., 2017] 的成功并非源于更多的计算资源，而是其巧妙的循环一致性损失函数，使得在先前方法失败的领域实现了不成对的图像转换。

优势与不足：

优势： 性能声称是皇冠上的明珠，并有清晰的方法论支持。使用布里渊区积分是解决局域光源问题的教科书式完美方案。开源实现（FMMAX）是一项重要贡献，促进了验证和采用。2倍的LEE提升是一个切实的、与工业相关的结果。

潜在不足与问题： 本文对逆向设计算法的具体细节（例如使用哪种伴随方法、正则化）着墨不多。10⁷x的加速，虽然对于单次仿真是合理的，但在考虑完整逆向设计循环所需的数千次仿真时可能会有所缩小——尽管它仍然是变革性的。该方法本质上局限于周期性、分层结构。它无法处理真正任意的、非分层的三维几何结构，在这个领域，基于FDTD的拓扑优化等方法仍然占据主导地位，尽管速度较慢。

可操作的见解：

对于AR/VR公司：此工具是设计下一代超高亮度、高效微型显示器的直接推动力。优先考虑将此仿真能力集成到您的研发流程中。对于光子学CAD/TCAD开发者：FMMAX的成功突显了市场对快速、专用求解器的需求，而不仅仅是通用求解器。开发可插入优化框架的模块化求解器。对于研究人员：核心思想——改造“快速”求解器以处理“困难”物理——具有普适性。探索将类似原理（例如，使用边界元法或专用FFT求解器）应用于声学、力学或热管理中的其他逆向设计问题。

6. 技术细节与数学公式

傅里叶模态方法求解具有周期性介电常数 $\epsilon(x,y)$ 的层中的麦克斯韦方程组。电场和磁场用傅里叶级数展开：

$$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ $$ \mathbf{H}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ 其中 $\mathbf{G}$ 是倒格矢，$\mathbf{k}_{\parallel}$ 是面内波矢，$\mathbf{r}_{\parallel} = (x,y)$。代入麦克斯韦方程组，得到关于傅里叶系数 $\mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z)$ 和 $\mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z)$ 的关于 $z$ 的常微分方程组，可通过特征分解求解。层间界面的散射问题使用散射矩阵算法求解，以确保数值稳定性。

针对非相干光源的关键扩展在于，偶极子分布的总提取功率 $P_{\text{ext}}$ 通过对布里渊区积分，并对偶极子位置 $\mathbf{r}_0$ 和方向 $\hat{\mathbf{p}}$ 求和来计算：

$$ P_{\text{ext}} \propto \sum_{\hat{\mathbf{p}}} \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k}_{\parallel} \sum_{\mathbf{r}_0} \left| \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{k}_{\parallel}, \hat{\mathbf{p}}, \mathbf{r}_0) \right|^2 $$ 该积分平均掉了假设单一周期性光源所产生的相干干涉，从而正确地模拟了非相干发射。

7. 分析框架：概念性案例研究

场景： 为蓝色µLED优化纳米图案化蓝宝石衬底以提升LEE。

框架应用：

参数化： 将纳米图案定义为具有固定周期的二维像素化光栅。每个像素的刻蚀深度是一个设计变量。
正向模型： 使用FMMAX计算当前结构的LEE。该工具高效处理多层堆栈（有源区、p-GaN、NPSS、空气）。
梯度计算： 采用伴随方法。FMM的公式允许同时高效计算LEE相对于所有刻蚀深度变量的梯度——这是速度至关重要的环节。
优化循环： 使用基于梯度的算法（例如L-BFGS）更新刻蚀深度以最大化LEE。未修改层（如均匀有源区）的特征分解结果被缓存和复用。
验证： 算法发现的最终不规则图案将被制造和测量，显示出优于标准周期性光栅的LEE。

此案例研究说明了该框架如何自动化地发现复杂、非直观的图案，这些图案比人工设计的图案能更有效地散射光。

8. 未来应用与方向

多物理场优化： 将逆向设计扩展到同时优化LEE与电学特性（电流扩展、热管理）以及全彩µLED的颜色转换效率。
超越显示： 将相同的快速非相干光源建模应用于高效固态照明（LED灯泡）、量子技术的单光子源以及增强型光电探测器的逆向设计。
算法集成： 将FMMAX与更先进的优化框架集成，例如处理多目标或可制造性约束（最小特征尺寸、刻蚀角度）的框架。
材料发现： 在“闭环”系统中使用该框架，结合高通量实验，不仅设计结构，还为有源层或超表面提出有前景的新材料组合。
神经网络代理模型： FMMAX的速度允许生成海量数据集来训练神经网络作为超快速代理模型，从而实现实时交互式设计探索。

9. 参考文献

Z. Liu 等人，“用于增强现实显示的微米LED”，《自然·光子学》，卷15，第1–12页，2021年。
J. A. Fan 等人，“光子结构的逆向设计”，《自然·光子学》，卷11，第9期，第543–554页，2017年。
L. Su 等人，“使用伴随方法的纳米光子结构逆向设计”，《IEEE量子电子学选题期刊》，卷26，第2期，2020年。
M. G. Moharam 和 T. K. Gaylord，“平面光栅衍射的严格耦合波分析”，《美国光学学会杂志》，卷71，第7期，第811–818页，1981年。
P. Lalanne 和 G. M. Morris，“TM偏振下耦合波方法收敛性的显著改进”，《美国光学学会杂志A辑》，卷13，第4期，第779–784页，1996年。
J. Zhu 等人，“使用循环一致性对抗网络的不成对图像到图像转换”，《IEEE国际计算机视觉大会论文集》，2017年。（用于算法见解比较的外部参考）。
美国能源部，“固态照明研发计划”，2022年。（用于行业重要性的外部参考）。
L. Li，“傅里叶级数在不连续周期结构分析中的应用”，《美国光学学会杂志A辑》，卷13，第9期，第1870–1876页，1996年。（用于收敛性挑战的参考）。
M. F. S. Schubert 和 A. M. Hammond，“FMMAX：用于分层介质的傅里叶模态方法”，《GitHub代码库》，2023年。（用于实现的参考）。