用於超表面增強型微型LED逆向設計嘅傅立葉模態法

1. 簡介

微型發光二極管（µLED）係下一代顯示器嘅關鍵組件，尤其喺對高亮度同能源效率要求極高嘅擴增實境（AR）應用中。光提取效率（LEE）係一個關鍵性能指標。傳統設計方法難以處理µLED固有嘅空間非相干光源（例如來自自發輻射）建模所帶來嘅計算複雜性，令到逆向設計呢類先進優化技術喺計算上難以實現。本研究引入一個基於傅立葉模態法（FMM）嘅模擬框架，克服咗呢個障礙，實現咗對超表面增強型µLED嘅高效且準確嘅逆向設計。

2. 方法論

本研究嘅核心係一個經過改進同擴展嘅傅立葉模態法。

2.1 傅立葉模態法（FMM）基礎

FMM，亦稱為嚴格耦合波分析（RCWA），通過將週期性、分層介質中嘅電磁場展開為截斷嘅傅立葉基來對其進行建模。分層方向（例如層狀結構中嘅垂直方向）嘅場係通過解析方法處理嘅。咁樣會產生一個線性系統，其大小僅取決於面內（2D）複雜度，從而允許使用直接方法求解相對較小嘅系統矩陣。

2.2 非相干光源建模嘅擴展

標準FMM假設光源係週期性嘅。將單個、局部化嘅非相干光源（如µLED中嘅偶極子）當作週期性光源建模會引入非物理干涉。作者通過實施布里淵區積分 [17-19] 來解決呢個問題。呢種技術涉及對布里淵區內多個波矢量進行採樣並對結果進行積分，從而有效模擬週期性陣列內嘅局部化光源，而唔會產生人為相干效應。

2.3 應對收斂挑戰

經典FMM公式喺包含金屬或高折射率對比材料嘅結構中收斂性較差（即「Li因式分解」問題 [16]）。本研究採用FMM嘅矢量公式，並使用改進嘅矢量場計算方法，顯著提高咗µLED中常見嘅挑戰性材料堆疊嘅收斂速度。

3. 技術實現與 FMMAX

該方法喺一個名為FMMAX嘅工具中實現。對於逆向設計而言，一個關鍵優勢係計算重用：為每層構建系統矩陣所需嘅昂貴特徵分解步驟，僅喺該層嘅輪廓發生變化時才需要重新計算。喺優化過程中，許多層喺迭代之間可能保持不變，呢種做法帶來咗巨大嘅計算節省。

4. 結果與性能

加速倍數

>10⁷x

比基於CPU嘅FDTD更快

LEE 提升

通過逆向設計超表面實現

4.1 速度與準確性基準測試

基於FMM嘅方法達到咗與時域有限差分法（FDTD）模擬相媲美嘅準確性，後者係計算電磁學中準確性嘅黃金標準，同時速度快咗超過一千萬倍。呢個性能飛躍將逆向設計從難以實現轉變為切實可行。

4.2 逆向設計案例研究

通過對集成喺µLED頂部嘅超表面進行逆向設計，展示咗該方法嘅威力。與未經優化嘅基準器件相比，經優化嘅超表面將光提取效率（LEE）提高咗一倍。此外，該方法嘅速度使得能夠生成高分辨率嘅LEE空間分佈圖，為器件性能提供咗新嘅物理見解。

圖表描述（概念性）： 柱狀圖會顯示「未優化µLED LEE」嘅歸一化值為1.0，而「超表面增強型µLED（逆向設計）」嘅值為2.0。內嵌嘅折線圖可以顯示逆向設計優化嘅收斂過程，目標函數（例如1/LEE）喺幾百次迭代內快速下降。

5. 分析與專家評論

核心見解：

本文嘅突破並唔係一個全新嘅算法本身，而係對現有算法（FMM）進行策略性嘅復興同增強，以解決被認為喺計算上難以實現嘅問題（非相干光源逆向設計）。呢個係務實工程學嘅典範：識別到瓶頸在於模擬器而非優化器，並精準地修復咗佢。呢個轉變將µLED設計嘅範式從緩慢、基於直覺嘅調整轉向快速、算法驅動嘅探索。

邏輯流程與比較：

作者正確指出，先前嘅工作要麼簡化咗物理模型（使用稀疏偶極子），要麼簡化咗幾何結構（利用對稱性），令到三維逆向設計問題未得到解決。佢哋嘅解決方案流程非常優雅：1）選擇FMM，因為其對分層結構具有固有嘅高效性。2）用現代公式修復其已知缺陷（收斂性、週期性）。3）利用由此產生嘅速度進行逆向設計。>10⁷x嘅加速聲稱令人震驚。為咗理解呢個數字，呢就好似將一個需要一年嘅模擬縮短到少於3秒。雖然FDTD以計算量大而聞名，但呢個差距凸顯咗算法選擇對計算規模嘅主導作用。呢個情況與其他領域嘅經驗相呼應；例如，CycleGAN [Zhu et al., 2017] 嘅成功並非源於更多計算資源，而係一個巧妙嘅循環一致性損失函數，使得佢能夠實現先前方法無法做到嘅非配對圖像轉換。

優點與不足：

優點： 性能聲稱係皇冠上嘅明珠，並有清晰嘅方法論支持。使用布里淵區積分係解決局部化光源問題嘅教科書式完美方案。開源實現（FMMAX）係一個重要貢獻，促進咗驗證同應用。2倍嘅LEE提升係一個具體且與行業相關嘅結果。

潛在不足與問題： 本文對逆向設計算法嘅具體細節（例如使用哪種伴隨方法、正則化）著墨較少。10⁷x嘅加速，雖然對於單次模擬係合理嘅，但考慮到完整逆向設計循環需要數千次模擬時，呢個優勢可能會縮小——儘管佢仍然係變革性嘅。該方法本質上僅限於週期性、分層結構。佢無法處理真正任意、非分層嘅三維幾何結構，呢個領域仍然係使用FDTD進行拓撲優化等方法嘅天下，儘管速度較慢。

可行建議：

對於AR/VR公司：呢個工具直接有助於設計下一代超高亮度、高效嘅微型顯示器。應優先將此模擬能力整合到您嘅研發流程中。對於光子學CAD/TCAD開發者：FMMAX嘅成功凸顯咗市場對快速、專用求解器嘅需求，而不僅僅係通用求解器。應開發可插入優化框架嘅模塊化求解器。對於研究人員：核心思想——改造一個「快速」求解器來處理「困難」物理問題——係具有普適性嘅。可以探索將類似原則（例如，使用邊界元法或專用FFT求解器）應用於聲學、力學或熱管理中嘅其他逆向設計問題。

6. 技術細節與數學公式

傅立葉模態法求解具有週期性介電常數 $ε(x,y)$ 嘅層中嘅麥克斯韋方程組。電場同磁場用傅立葉級數展開：

$$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ $$ \mathbf{H}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ 其中 $ε$ 係倒易晶格矢量，$ε$ 係面內波矢量，而 $ε = (x,y)$。代入麥克斯韋方程組會得到關於傅立葉係數 $ε$ 同 $ε$ 嘅 $z$ 方向常微分方程組，可以通過特徵分解求解。層間界面嘅散射問題使用散射矩陣（S矩陣）算法求解以確保數值穩定性。

針對非相干光源嘅關鍵擴展在於，對於偶極子分佈，總提取功率 $ε$ 係通過對布里淵區（BZ）積分並對偶極子位置 $ε$ 同取向 $ε$ 求和來計算嘅：

$$ P_{\text{ext}} \propto \sum_{\hat{\mathbf{p}}} \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k}_{\parallel} \sum_{\mathbf{r}_0} \left| \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{k}_{\parallel}, \hat{\mathbf{p}}, \mathbf{r}_0) \right|^2 $$ 呢個積分平均咗假設單個週期性光源所產生嘅相干干涉，從而正確模擬咗非相干發射。

7. 分析框架：概念性案例研究

場景： 為藍光µLED優化納米圖案化藍寶石襯底（NPSS）以提升LEE。

框架應用：

參數化： 將納米圖案定義為具有固定週期嘅二維像素化光柵。每個像素嘅蝕刻深度係一個設計變量。
正向模型： 使用FMMAX計算當前結構嘅LEE。該工具高效處理多層堆疊（有源區、p-GaN、NPSS、空氣）。
梯度計算： 採用伴隨方法。FMM嘅公式允許同時高效計算LEE相對於所有蝕刻深度變量嘅梯度——呢度係速度關鍵所在。
優化循環： 使用基於梯度嘅算法（例如L-BFGS）更新蝕刻深度以最大化LEE。未修改層（如均勻有源區）嘅特徵分解會被緩存同重用。
驗證： 算法發現嘅最終不規則圖案將被製造同測量，結果顯示其LEE優於標準週期性光柵。

呢個案例研究說明咗該框架如何自動發現複雜、非直觀嘅圖案，呢啲圖案比人為設計嘅圖案更能有效地散射光線。

8. 未來應用與方向

多物理場優化： 將逆向設計擴展到同時優化LEE與電學特性（電流擴展、熱管理）以及全彩µLED嘅顏色轉換效率。
超越顯示器： 將相同嘅快速非相干光源建模應用於高效固態照明（LED燈泡）、量子技術用單光子源以及增強型光電探測器嘅逆向設計。
算法整合： 將FMMAX與更先進嘅優化框架整合，例如處理多目標或可製造性約束（最小特徵尺寸、蝕刻角度）嘅框架。
材料發現： 將該框架用於與高通量實驗相結合嘅「閉環」系統中，不僅設計結構，仲為有源層或超表面提出有前景嘅新材料組合。
神經網絡代理模型： FMMAX嘅速度允許生成大量數據集來訓練神經網絡作為超快速代理模型，實現實時交互式設計探索。

9. 參考文獻

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