用於超穎表面增強型微發光二極體逆向設計的傅立葉模態法

1. 簡介

微尺度發光二極體（µLED）是下一代顯示器的關鍵元件，特別是在高亮度與能源效率至關重要的擴增實境（AR）應用中。光萃取效率（LEE）是一項關鍵效能指標。傳統設計方法在模擬µLED固有的空間非相干光源（例如來自自發輻射）時，面臨計算複雜度的挑戰，使得像逆向設計這類先進優化技術在計算上難以實現。本研究引入一個基於傅立葉模態法（FMM）的模擬框架，克服了此障礙，實現了超穎表面增強型µLED的高效且精準的逆向設計。

2. 方法論

本研究的核心是一個經過調整與擴展的傅立葉模態法。

2.1 傅立葉模態法（FMM）基礎

FMM，亦稱為嚴格耦合波分析（RCWA），透過在截斷的傅立葉基底上展開電磁場，來模擬週期性、分層介質中的電磁場。分層方向（例如層狀結構中的垂直方向）的場是透過解析方法處理的。這導致一個線性系統，其大小僅取決於平面內（2D）的複雜度，從而允許使用直接方法求解相對較小的系統矩陣。

2.2 非相干光源建模的擴展

標準FMM假設光源是週期性的。將單一、局域化的非相干光源（如µLED中的偶極子）建模為週期性會引入非物理的干涉。作者透過實作布里淵區積分 [17-19] 來解決此問題。此技術涉及在整個布里淵區內對多個波向量進行取樣並積分結果，有效地模擬週期性陣列內的局域化光源，而不會產生人工相干效應。

2.3 解決收斂性挑戰

經典的FMM公式在包含金屬或高折射率對比材料的結構中會遇到收斂性差的問題（即「Li因式分解」問題 [16]）。本研究採用了FMM的向量公式，並搭配一種改進的向量場計算方法，這顯著提升了在µLED中常見的挑戰性材料堆疊上的收斂速度。

3. 技術實作與 FMMAX

該方法實作於一個名為FMMAX的工具中。對於逆向設計的一個關鍵優勢是計算重用：為每一層建立系統矩陣所需的昂貴特徵分解步驟，僅在該層的剖面發生變化時才需要重新計算。在優化過程中，許多層可能在迭代之間保持不變，這提供了巨大的計算節省。

4. 結果與效能

加速倍數

>10⁷x

相較於基於CPU的FDTD

LEE 提升

透過逆向設計的超穎表面

4.1 速度與準確度基準測試

基於FMM的方法達到了與時域有限差分法（FDTD）模擬相當的準確度，後者是計算電磁學中準確度的黃金標準，同時速度快了一千萬倍以上。此效能躍進將逆向設計從難以實現轉變為實際可行。

4.2 逆向設計案例研究

該方法的威力透過對整合於µLED頂部的超穎表面進行逆向設計來展示。與未經優化的基準裝置相比，優化後的超穎表面使光萃取效率（LEE）提升了一倍。此外，該方法的速度使得能夠生成高解析度的LEE空間分佈圖，為元件效能提供了新的物理見解。

圖表說明（概念性）： 長條圖將顯示「未優化µLED LEE」的歸一化值為1.0，而「超穎表面增強型µLED（逆向設計）」的值為2.0。內嵌的折線圖可以顯示逆向設計優化的收斂過程，目標函數（例如 1/LEE）在數百次迭代中迅速下降。

5. 分析與專家評論

核心見解：

本文的突破點本身並非一個新演算法，而是對現有演算法（FMM）進行策略性的復興與增強，以解決一個被認為在計算上難以處理的問題（非相干光源逆向設計）。這是一堂務實工程的典範課程：識別出瓶頸在於模擬器而非優化器，並精準地修復它。這將µLED設計的典範從緩慢、基於直覺的調整轉變為快速、基於演算法的探索。

邏輯流程與比較：

作者正確地指出，先前的研究要麼簡化了物理模型（使用稀疏偶極子），要麼簡化了幾何結構（利用對稱性），使得三維逆向設計問題未獲解決。他們的解決方案流程非常優雅：1) 選擇FMM，因其對分層結構具有固有的效率。2) 用現代公式修復其已知缺陷（收斂性、週期性）。3) 利用由此產生的速度進行逆向設計。>10⁷x的加速聲稱令人震驚。為了具體化，這相當於將一個需要一年的模擬縮短到少於3秒。雖然FDTD以計算繁重著稱，但這個差距凸顯了演算法選擇如何主導計算規模。這與其他領域的經驗教訓相呼應；例如，CycleGAN [Zhu et al., 2017] 的成功並非來自更多的計算資源，而是來自一個巧妙的循環一致性損失函數，使得在先前方法失敗的非配對影像轉換任務上取得成功。

優點與潛在缺陷：

優點： 效能聲稱是皇冠上的寶石，並有清晰的方法論支持。使用布里淵區積分是解決局域化光源問題的教科書級完美方案。開源實作（FMMAX）是一項重大貢獻，促進了驗證與採用。2倍的LEE提升是一個具體且與產業相關的成果。

潛在缺陷與問題： 本文對於逆向設計演算法的具體細節（例如使用哪種伴隨方法、正則化）著墨較少。10⁷x的加速，雖然對於單次模擬是合理的，但考慮到完整逆向設計迴路所需的數千次模擬時，此優勢可能會縮小——儘管它仍然是變革性的。該方法本質上僅限於週期性、分層結構。它無法處理真正任意、非分層的三維幾何結構，這仍然是使用FDTD的拓撲優化等方法（儘管緩慢）佔主導地位的領域。

可付諸行動的見解：

對於AR/VR公司：此工具是設計下一代超高亮度、高效率微顯示器的直接推動者。優先考慮將此模擬能力整合到您的研發流程中。對於光子CAD/TCAD開發者：FMMAX的成功凸顯了市場對快速、專用求解器的需求，而不僅僅是通用求解器。開發可插入優化框架的模組化求解器。對於研究人員：核心思想——改造一個「快速」求解器來處理「困難」物理問題——具有普遍性。探索將類似原則（例如使用邊界元素法或專用FFT求解器）應用於聲學、力學或熱管理中的其他逆向設計問題。

6. 技術細節與數學公式

傅立葉模態法求解具有週期性介電常數 $ε(x,y)$ 的層中的馬克士威方程組。電場和磁場以傅立葉級數展開：

$$ \mathbf{E}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{E}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ $$ \mathbf{H}(x,y,z) = \sum_{\mathbf{G}} \mathbf{H}_{\mathbf{G}}(z) e^{i(\mathbf{k}_{\parallel} + \mathbf{G}) \cdot \mathbf{r}_{\parallel}} $$ 其中 $ε$ 是倒晶格向量，$ε$ 是平面內波向量，且 $ε = (x,y)$。代入馬克士威方程組會得到關於傅立葉係數 $ε$ 和 $ε$ 的 $z$ 方向常微分方程組，可透過特徵分解求解。層間介面的散射問題則使用散射矩陣（S矩陣）演算法求解以確保數值穩定性。

針對非相干光源的關鍵擴展在於，對於偶極子分佈的總萃取功率 $ε$ 是透過對布里淵區（BZ）積分並對偶極子位置 $ε$ 和方向 $ε$ 求和來計算的：

$$ P_{\text{ext}} \propto \sum_{\hat{\mathbf{p}}} \int_{\text{BZ}} d\mathbf{k}_{\parallel} \sum_{\mathbf{r}_0} \left| \mathbf{E}_{\text{ext}}(\mathbf{k}_{\parallel}, \hat{\mathbf{p}}, \mathbf{r}_0) \right|^2 $$ 此積分平均掉了假設單一週期性光源會產生的相干干涉，從而正確地模擬了非相干輻射。

7. 分析框架：概念性案例研究

情境： 為藍光µLED優化奈米圖案化藍寶石基板（NPSS）以提升LEE。

框架應用：

參數化： 將奈米圖案定義為具有固定週期的二維像素化光柵。每個像素的蝕刻深度是一個設計變數。
正向模型： 使用FMMAX計算當前結構的LEE。該工具能高效處理多層堆疊（主動區、p-GaN、NPSS、空氣）。
梯度計算： 採用伴隨方法。FMM的公式允許同時高效計算LEE相對於所有蝕刻深度變數的梯度——這是速度至關重要的地方。
優化迴路： 使用基於梯度的演算法（例如 L-BFGS）更新蝕刻深度以最大化LEE。未修改層（如均勻的主動區）的特徵分解會被快取並重複使用。
驗證： 演算法發現的最終不規則圖案將被製造並量測，顯示其LEE優於標準的週期性光柵。

此案例研究說明了該框架如何自動化地發現複雜、非直覺的圖案，這些圖案比人為設計的圖案能更有效地散射光線。

8. 未來應用與方向

多物理場優化： 將逆向設計擴展到共同優化LEE與電學特性（電流擴散、熱管理）以及全彩µLED的色彩轉換效率。
超越顯示器： 將相同的快速非相干光源建模應用於高效固態照明（LED燈泡）、量子技術的單光子源以及增強型光電探測器的逆向設計。
演算法整合： 將FMMAX與更先進的優化框架整合，例如處理多目標或可製造性限制（最小特徵尺寸、蝕刻角度）的框架。
材料探索： 在高通量實驗的「閉環」系統中使用此框架，不僅設計結構，還能為主動層或超穎表面提出有前景的新材料組合。
神經網路代理模型： FMMAX的速度允許生成大量資料集來訓練神經網路作為超快速代理模型，實現即時互動式設計探索。

9. 參考文獻

Z. Liu 等人，「用於擴增實境顯示器的微發光二極體」，Nature Photonics，卷 15，頁 1–12，2021年。
J. A. Fan 等人，「光子結構的逆向設計」，Nature Photonics，卷 11，第 9 期，頁 543–554，2017年。
L. Su 等人，「使用伴隨方法逆向設計奈米光子結構」，IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics，卷 26，第 2 期，2020年。
M. G. Moharam 與 T. K. Gaylord，「平面光柵繞射的嚴格耦合波分析」，J. Opt. Soc. Am.，卷 71，第 7 期，頁 811–818，1981年。
P. Lalanne 與 G. M. Morris，「針對TM偏振的耦合波方法收斂性大幅改善」，J. Opt. Soc. Am. A，卷 13，第 4 期，頁 779–784，1996年。
J. Zhu 等人，「使用循環一致性對抗網路進行非配對影像到影像轉換」，Proc. IEEE ICCV，2017年。（用於演算法見解比較的外部參考文獻）。
美國能源部，「固態照明研發計畫」，2022年。（用於產業重要性的外部參考文獻）。
L. Li，「傅立葉級數在不連續週期結構分析中的應用」，J. Opt. Soc. Am. A，卷 13，第 9 期，頁 1870–1876，1996年。（用於收斂性挑戰的參考文獻）。
M. F. S. Schubert 與 A. M. Hammond，「FMMAX：用於分層介質的傅立葉模態法」，GitHub 儲存庫，2023年。（用於實作的參考文獻）。